Actividad 2. Los números complejos

.Los números complejos son un conjunto de números a los que pertenecen los números imaginarios. Pero, ¿cómo es que está conformado éste conjunto? Iniciemos desde su origen.

El origen de los números números

Desde el inicio de la humanidad, los seres humanos hemos tenido la necesidad de contar. Al principio de usaban los dedos, se hacían nudos en cuerdas, incluso de hacían montones de ramas para representar cantidades. A medida que las cantidades que se querían contar se fueron haciendo cada vez más grandes, tuvieron que desarrollarse símbolos o figuras que los representará de forma más práctica y sencilla. 

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas de llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Éste procedimiento se vuelve a repetir hasta obtener sucesivas clases (unidades, decenas, centenas, etc.). 

El sistema de numeración que utilizamos actualmente es decimal, es decir, está basado en 10 dígitos. Algunas teorías dicen que la base más común fue 10 porque éste es el número de dedos en la mano. Sin embargo muchas civilizaciones utilizaron otras bases, como la maya, que uso como base 20 y 5, o la babilónica, 20 y 60. 

os números que cotidianamente utilizamos en la actualizad, pertenecen al Sistema Indo-Arábigo. Éste sistema de numeración posicional base 10, fue desarrollado en la India y fue difundido en Europa por los árabes.

 Los sacerdotes hindúes inventaron los números que usamos, llamados arábigos por ser los árabes quienes los divulgaron. Los contactos comerciales entre la India y el imperio construido por los árabes favorecieron que éstos últimos adoptaran tanto el sistema de numeración hindú como sus signos numerales, contribuyendo luego decisivamente a difundirlos en Occidente. 

La principal razón por la que fue ampliamente utilizado es que, a diferencia de otros sistemas con diferente base, los números indo-arábigos facilitan mucho la realización de todo tipo de operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, etc.). 

 Otra de las ventajas de ése sistema es la existencia del cero (0), lo que permite que con sólo diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) puedan representarse cualquier cantidad por más grande que sea y convertir la numeración infinita, y facilitar al efectuar operaciones. 

Pero, realmente ¿en qué se basa el sistema posicional? Pues bien, se dice que el sistema numérico indo-arábigo es un sistema posicional base 10, esto quiere decir que dependiendo de la posición que tiene cada dígito o número: 0, 1, 2, 3, 4, 5. 6. 7, 8, 9, es el valor que le corresponde en unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc. 

Por ejemplo: 

Cantidad	Unidades de millar	Centenas	Decenas	Unidades
4089	4	0	8	9	Cuatro mil ochenta y nueve

Además de asignar valores, el sistema indo-arábigo se caracteriza por agrupar valores de diez en diez (base 10), en este sentido, 10 unidades forman una decena, 10 decenas formas una centena, 10 centenas formas una unidad de millar, y así sucesivamente.

En conclusión, el sistema de numeración posicional indo-arábigo, es el sistema más utilizado porque facilita mucho el poder realizar operaciones aritméticas, es posible representar cantidades muy grandes o muy pequeñas, además, el uso del número cero (0), fue de gran importancia y utilidad.

 

Otros sistemas de numeración no posicionales

Los sistemas de numeración no posicionales se basan en que el valor de los símbolos o figuras utilizadas para representar cantidades,  no dependen de la posición en la que se encuentren, si no que se representan por el símbolo en sí.

Entre los sistemas de numeración no posicional se encuentran el sistema egipcio, y el sistema romano.

Sistema de numeración romana

Se basaba en el valor absoluto y posición relativa de siete símbolos representados por letras del alfabeto, con los que se podía representar unas cantidades elevadas con un numero reducido de ellos. Estos símbolos eran: I, V, X, L, C, D y M, donde I representaba 1 unidad, V 5 unidades, X diez unidades, L 50 unidades, C 100 unidades, D 500 unidades y M 1000 unidades. Con estos símbolos se obtenía todos los demás números:

Reglas del sistema de numeración romano:

1. Los numerales (símbolos) se pueden repetir sólo hasta 3 veces, pero no todos, sólo el 1, el 10, el 100 y el 1000.

2. Se apega a cuatro principios:

•Principio aditivo: para encontrar el valor del número, se suman los valores de los símbolos que lo forman, sin importar su posición, excepto en los casos en que se aplica el principio sustractivo.

•Principio sustractivo: si uno de los símbolos I, X, C se encuentran a la izquierda de otro símbolo de mayor valor, se le resta a éste el valor correspondiente,

•Principio multiplicativo: si un símbolo tiene una testa (), entonces se multiplica por 1,000.

Ejemplos:  

 

•Principio de economía: es mejor usar menos símbolos para escribir un número

Sistema de numeración egipcia

El sistema de numeración egipcio era decimal y no posicional. Cada unidad se representaba con un trazo vertical; las decenas, con un arco, y las centenas, millares, decenas de millar, centenas de millar y millones, con un jeroglífico específico.

Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema describir los números en base diez utilizando jeroglíficos para representar los distintos ordenes de unidades.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. 

Al ser indiferente el orden, se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas, etc.).

Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas

 

 

Propiedades de los números naturales

Propiedades de los números naturales en las operaciones

Los números naturales son un conjuntos de números que pertenecen a N= { 1, 2, 3, 4, 5...}

Se caracterizan porque cumplen con ciertas características al utilizarse para realizar operaciones aritméticas. 

Cuando se realiza una operación de adición o suma o una multiplicación, el resultado obtenido es un número perteneciente al conjunto de los números naturales. Se dice entonces que para éstas operaciones excluyentes.

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Caso contrario, esto no siempre ocurre cuando se realizan operaciones de resta o división. Entonces forman operaciones no excluyentes.

Para la suma, se cumplen ciertas propiedades:

- Conmutatividad: El orden de los sumandos no varía la suma.  

a + b = b + a, con a y b pertenecientes a números naturales.

- Asociatividad: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. 

(a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a números naturales.

Propiedades que se cumplen en la multiplicación de números naturales:

- Conmutatividad: a · b = b · a, con a y b pertenecientes a números naturales.

- Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a números naturales

- Elemento Neutro: a · 1 = a, con a perteneciente a números naturales. Todo elemento de números naturales, multiplicado por 1, resulta el mismo elemento.

- Distributividad: a · (b + c) = a · b + a · c, con a, b y c pertenecientes a número natural.

Propiedades de los números enteros

Diferencias en las propiedades entre los números enteros y naturales.

Se les denomina números enteros al conjunto de éstos que pertenecen a z= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}

A diferencia de los números naturales, éstos incluyen el valor de cero (0), y todos aquellos números contrarios a los naturales (números negativos), así como también los positivos.

Al igual que los números naturales, los enteros también cumplen ciertas propiedades al realizar operaciones:

Propiedades en la suma o adición:

1.  Se cumplen las mismas propiedades que con los números naturales.
2. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. a + 0 = a
3. Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.  a + (-a) = 0

Propiedades en la resta:

1. Interna: La resta dos números enteros es otro número entero.
2. No es Conmutativa: a - b ≠ b – a

Propiedades de la multiplicación en números enteros:

1. Se cumplen con las mismas propiedades de los números naturales al multiplicar.

Propiedades de la división en números enteros:

1. Al contrario que en la división de números naturales, la división de dos números enteros, siempre dará por resultado otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

REGLA DE LOS SIGNOS

+ entre + = +

- entre + = -

+ entre - = -

- entre - = +

Propiedades de los números racionales

Diferencias en las propiedades entre los números enteros y racionales

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.}
Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.

Propiedades de la suma y resta de números racionales:

1. Cumple con las mismas propiedades que los números enteros: interna, conmutativo, asociativa, elemento neutro y elemento opuesto. En el caso de la resta, no es conmutativa, es decir, el orden de los elementos afecta en la operación.

Propiedades en la multiplicación  de números racionales:

1. Se cumplen con las mismas propiedades que los números enteros.

Propiedades en la división  de números racionales:

Se define el cociente de r entre s distinto de 0, al producto . En otra notación, .

A las operaciones que todo par de racionales, divisor distinto de cero, le hace corresponder su cociente, se llama división, que no es una operación totalmente definida; pero se asume que es una operación inversa de la multiplicación que resuelve la ecuación. 

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se llaman operaciones racionales.

Al realizar la operación de raíz cuadrada a un número racional, el resultado obtenido no pertenecerá a los números racionales

Propiedades de los números irracionales

Los números racionales son aquellos que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. 

La representación gráfica de los números irracionales se la hace con las letras mayúsculas así: R - Q.

Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología.

Los números irracionales pertenecen al conjunto de los números reales, más no al de los racionales. 

Propiedades de los números irracionales en las operaciones.

1. Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
2. Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
3. Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.
4. La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta.

Propiedades de los números reales

Diferencias en las propiedades entre los números reales y los racionales

Propiedades de la suma de números reales.

Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí.

La suma tiene las siguientes propiedades: Conmutatividad, asociatividad, elemento inverso, elemento neutro.

Propiedades de la resta de números reales

Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números.

1. Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.
2. Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.
3. Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.
4. Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.

En la multiplicación, los números reales y los racionales cumplen con las mismas propiedades.

Propiedades en la división:

Siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir, son la excepción de que el divisor no puede ser cero. Esto es, no se puede dividir entre cero.

Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación.

No es una operación conmutativa ni asociativa.

Propiedades de los números imaginarios

Los números imaginarios son un conjunto de números complejos que no pertenece a los números reales, y cuyo origen resulta de la raíz cuadrada de menos 1. Esto es debido a que no es posible realizar operaciones de raíces a números reales negativos.

 La necesidad de tener un número que al elevarlo al cuadrado de cómo resultado un número negativo, dio como resultado el numero i, y se define como la raíz cuadrada de menos uno.

Propiedades de la suma de números complejos

1. Los números complejos son conmutativos, asociativos, elementos neutros, y cumplen con los elementos simétricos.

Propiedades de la multiplicación de complejos

1. Conmutativa
2. Asociativa
3. Elemento neutro
4. Distributiva del producto con respecto a la suma
5. Elemento simétrico respecto del producto

• Dados tres números complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i, se cumple:

(a + b.i).[(c + d.i) + (e + f.i)] = (a + b.i) (c + d.i) + (a + b.i).(e + f.i)

Ejemplo:

(1 - 2 i) [3 i + (2 - 7 i)] = (1 - 2 i) (2 - 4 i) = 2 - 4 i - 4 i + 8 i² = -6 - 8 i

(1 - 2 i) 3 i + (1 - 2 i) (2 - 7 i) = (3 i - 6 i²) + (2 - 7 i - 4 i + 14 i²) = (3 i + 6) + (-12 - 11 i) = - 6 - 8 i

• El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.
• El conjunto de los números complejos se simboliza por C,o también (C, +, ·).
• Elemento simétrico respecto del producto. Dado un complejo cualquiera a + b.i, distinto de 0 + 0 i, existe otro complejo que, multiplicado por él, da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0 i
  

División de números complejos


La división es la operación inversa de la multiplicación. Esto es, dividir un número complejo entre otro es el resultado de multiplicar el primero por el inverso del segundo.