Actividad 4. Expresiones Algebraicas

En el presente material se aborda el tema de las expresiones algebraicas, las operaciones básicas entre ella y la forma en la que el lenguaje natural es expresado algebraicamente.


 

Activity 2 4 algebraic expressions from Edgar Mata


Les comparto parte de la actividad que contesté:

Actividad 4. Expresiones algebraicas from Ana RF

 

Esperoq ue ésta información les sea de mucha utilidad. 

Day of the Death in México

Día de Muertos en México

El día de Muertos, es para nuestro país una de las tradiciones más bonitas que podemos celebrar.

El Día de Muertos es una celebración mexicana de origen mesoamericano que honra a los difuntos el 2 de noviembre, comienza desde el 1 de noviembre, y coincide con las celebraciones católicas de Día de los Fieles Difuntos y Todos los Santos.

Es una festividad que se celebra en México y en algunos países de América Central, así como en muchas comunidades de los Estados Unidos, donde existe una gran población mexicana y centroamericana. La Unesco ha declarado la festividad como Patrimonio Cultural Inmaterial de la Humanidad. Existe en Brasil una celebración similar conocida como Día dos Finados, aunque esta festividad no tiene las mismas raíces prehispánicas que el Día de los Muertos.

A continuación les dejare tres vídeos acerca de esta tradición y mi comentario personal acerca de ellos.

 

Esté primer vídeo fue creado por estudiantes no mexicanos, llamándolo “Día de Muertos”.

En lo personal, este vídeo me hace pensar que no nos debemos de poner tristes por perder a un familiar, es muy doloroso y es lógico que los vayamos a extrañar, pero, ellos no la pasan tan mal como creemos. Así como en ese vídeo se muestra que una niña esta triste por perder a su madre, cuando de pronto ella la arrastra hacia dentro de su tumba; la niña se asusta pues no conoce nada de lo que está viendo además de que está caminando entre personas en los puros huesos. Pero se da cuenta que ellos no están tristes sino todo lo contrario, están celebrando su día, ve que una de esas personas es su mamá y le muestra que ella no ésta triste, la niña comienza a celebrar y disfrutar de lo que ellos hacen. Al final la niña regresa fuera de la tumba y se va feliz de ver que su madre está feliz al igual que ella. La moraleja de este vídeo desde mi punto de vista, es que no nos debemos de poner tristes, ya que ellos siempre seguirán vivos en nuestro corazón.

Actividad 4. Expresiones algebraicas

El álgebra es un lenguaje, específicamente es el lenguaje en el que escrita la ciencia. Cualquier libro de física, química o cualquier otra ciencia, contiene leyes que describen y predicen e comportamiento de la naturaleza, estas leyes se sintetizan en forma de expresiones que contienen signos, constantes, variables y las operaciones aritméticas que las relacionan, es decir, expresiones algebraicas.

En el presente material se aborda el tema de las expresiones algebraicas, las operaciones básicas entre ella y la forma en la que el lenguaje natural es expresado algebraicamente. 

Activity 2 4 algebraic expressions from Edgar Mata

A continuación les comparto una pequeña información en la que se narra algunas de las aportaciones más importantes de la antigua civilización China en el ámbito de el álgebra y las matemáticas. 

200 B.C. — 1000Early Chinese algebra

Chinese mathematicians developed a procedure for obtaining square roots as early as 200 BC and were thus able to solve problems such as "One has a square area of 55225 pu. What is the side of the square?" The Nine Chapters on the Mathematical Art provides the first evidence of a systematic method for solving simultaneous linear equations.

                   

Los matemáticos Chinos dieron a la historia del álgebra grandes aportaciones.

Su historia se remonta desde casi el inicio de su civilización, pero se tienen pruebas escritas y libros que datan de poco antes de la época de la primera dinastía Han (206 a. C. hasta 24 d.C.), de donde procede el tratado Matemáticas en nueve capítulos sobre el arte matemático, uno de los documentos más importantes escritos. Estos nueve libros incluían problemas sobre agrimensura, agricultura, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones, y propiedades de los triángulos rectángulos. Además, se descubrió el uso de sistemas de ecuaciones lineales con números positivos y negativos.  Ésta obra ejerció gran influencia en libros matemáticos chinos posteriores.

Posteriormente otros matemáticos como Liu Hui (siglo III), Sun-zi (siglos II-IV), Liu Zhuo (siglo VI) y otros hicieron aportaciones a este tratado.

Gracias a estos textos, se descubrió que loa antiguos Chinos tabajaban las ecuaciones lineales indeterminadas y por medio de un procedimiento algorítmico para resolver sistemas lineales parecido al que hoy conocemos como método de Gauss que les llevó al reconocimiento de los números negativos. Estos números constituyen uno de los principales descubrimientos de la matemática china.

Mayor interés histórico y matemático despierta el SSu-yüan yü- Chien o “Espejo Precioso de los Cuatro elementos” escrito por Chu Shih-Chieh en 1303. Los cuatro elementos a los que se refiere el título, que son el cielo, la tierra el hombre y la materia, representan las cuatro incógnitas de una ecuación. Este libro marca la cota más alta que alcanzó el desarrollo del álgebra china, y en él se estudian tanto sistemas de ecuaciones simultáneas como ecuaciones individuales de grados tan altos como catorce. Chu Shih-Chieh explica un método de transformación para ecuaciones, que él llama el fan fa y cuyo fundamento debe de haber aparecido en China mucho tiempo atrás. Este método suele conocerse en occidente con el nombre de “método de Horner”, matemático que vivió medio milenio más tarde, y consiste en evaluar de manera eficiente polinomios de una forma monomial.

El desarrollo del álgebra en esta época es grandioso: sistemas de ecuaciones no lineales, sumas de sucesiones finitas, utilización del cero, triángulo de Tartaglia (o Pascal) y coeficientes binomiales así como métodos de interpolación que desarrollaron en unión de una potente astronomía. El siglo VII vio la enorme gesta de ingeniería que supuso la unión de los dos ríos más importantes de China mediante el Gran Canal de 1700 km. de largo.

El llamado “método de Horner” era bien conocido en China ,ya que por lo menos otros matemático del periodo Sung (960-1224) tardío hicieron uso de procedimientos análogos. Uno de ellos fue Ch’in ChiuShao (1202-1261) donde su obra Shu-Shu Chiu-Chang o “Tratado matemático en nueve secciones” marca el punto culminante del análisis indeterminado chino con la invención de reglas rutinarias para resolver sistemas de congruencias simultáneas, y el cálculo de la raíz cuadrada por etapas, paralelamente a lo que se hace en el “método de Horner”.

Fuentes de información.

• https://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Historia%20del%20algebra%20y%20de%20sus%20textos.pdf
• The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook: https://books.google.com.mx/books?id=3ullzl036UEC&pg=PA194&lpg=PA194&dq=Chinese+mathematicians+developed+a+procedure+f&source=bl&ots=OVlBTFmFqD&sig=rkHCblz0WXfhC9GSS_AVG8QIex0&hl=es419&sa=X&ved=0CEEQ6AEwBWoVChMI0aTnjbbeyAIVBN9jCh2b_QZf#v=onepage&q=Chinese%20mathematicians%20developed%20a%20procedure%20f&f=false

Conceptos fundamentales del álgebra

• Álgebra. Rama de la matemática que estudia la cantidad considerada del modo más  general posible. Para lograr la generalización las cantidades e representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores.

• Teorema fundamental del álgebra. Toda ecuación polinómica de grado n en la que los coeficientes son números reales o complejos, tienen n raíces (que pueden no ser real o distinto).

• Expresión algebraica. 1. Es la representación  de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. 2. Grupo de números y letras combinadas entre sí mediante una o más de las operaciones fundamentales.

• Término algebraico. 1. Un número o una letra, o varias números y letras combinadas entre sí mediante las operaciones de multiplicación o de división, o de ambas. 2. Expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -.

• Monomio. 1. Una expresión que contiene solamente un término. 2. Es una expresión algebraica que consta de un sólo término, como 3a, -5b, etc.

• Binomio. 1. Una expresión algebraica que contiene exactamente dos términos. 2. Es un polinomio que consta de dos términos como: a+b, x-y.

, 

• Trinomio. 1. Es un polinomio que consta de tres términos, como: a+b+c, x-5y+6. 2. Una expresión algebraica que contiene exactamente tres términos.

• Polinomio. 1. Es una expresión algebraica que consta de más de un término, como a+b, a+x-y. 2. Función racional entera.

Como material de consulta bibliográfica, se tomaron de referencia los siguientes libros, en los cuales anexo un link para su consulta en linea:

• Álgebra. Paul K. Rees. Fred W. Sparks: http://www.espbar.com/Libros/Algebra-Rees%20Sparks.pdf
• Álgebra. A. Baldor: http://saber9y11.edu.co/recursos/algebrabaldor.pdf

Con el fin de el aprendizaje y aclaración de dudas, recomiendo los siguientes materiales en los que se explican:

• Término algebraico: 

Término algebraico from Edgar Mata

• Grados de una expresión algebraica.

Grado de una expresión algebraica from Edgar Mata

• Operaciones algebraicas: Multiplicación de polinomios.

Algebraic multiplication from Edgar Mata

• Operaciones algebraicas: Suma algebraica de polinomios. 

Algebraic addition from Edgar Mata

Ejercicio 3. Evaluación de desempeño

El siguiente ejercicio fue aplicado a los alumnos del primer cuatrimestre en el módulo de álgebra lineal para evaluar el conocimiento adquirido sobre los temas de notación científica y operaciones con números complejos.

En las operaciones debían sustituirse el valor de NE (número de equipo) y NL (número de lista), de manera personalizada. En mi caso, NE = 6 y NL = 18.

Espero que éste ejercicio les sea de utilidad.

Exercise 3 performance evaluation - 3 from Edgar Mata

Ejercicio 3. Eveluación del desempeño from Ana RF

Actividad 3. Potencias y raíces de números complejos

A diferencia de los números reales, las operaciones con números complejos requieren de herramientas más relacionadas con el álgebra que con la aritmética. Cuando se desea elevar un número complejo a una potencia es posible seguir utilizando herramientas algebraicas, sin embargo, es más sencillo recurrir a la trigonometría. 

En el presente material se obtiene la forma polar de un número complejo a partir de su gráfica cartesiana y, posteriormente, se aborda el Teorema de Môivre para calcular potencias y raíces de números complejos.

Primera parte: Actividad 2. Los números complejos.

Activity 3 de moivre theorem from Edgar Mata

En el siguiente documentos se adjuntan los ejercicios resueltos correspondientes a la actividad 3. Potencias y raices de números complejos.

 

Actividad 3. Potencias y raíces de números complejos from Ana RF

Además les comparto una excelente explicación de cómo obtener potencias y raíces de números complejos.

 

Complex numbers powers and roots from Edgar Mata

Los fractales

Son el producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria. Es decir, da como resultado un conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso (por ser de longitud infinita).

Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objeto, ya que siempre lo veremos de la misma forma.

El termino fractal (del Latín fractus) fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, como por ejemplo, en el romanescu (verdura que presenta geometría fractal en su estructura).

Conjunto Mandelbrot

triángulo Sierpinski

Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso.

.

La estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.

Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski:

El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión:

Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido. Por ejemplo, para c=1 se obtiene: 0, 1, 2, 5, 26, 677, etc.(0, 1=0²+1, 2=1²+1, 5=2²+1, etc.) Para c=-0.5 obtenemos 0, -0.5, -0.25, -0.4375, -0.30859375, -0.404769897, etc. De esta forma, c=-0.5 pertenece al conjunto y c=1 no.

Si además consideramos números complejos, obtenemos la siguiente figura:

Aquí un interesante vídeo sobre los fractales.

Actividad 2.

Actividad 2. Los números complejos contestada y ejercicios resueltos.  

Complex numbers from Matematica de Samos




 

Ejercicio de los números complejos from Ana RF

Actividad 2. Los números complejos

.Los números complejos son un conjunto de números a los que pertenecen los números imaginarios. Pero, ¿cómo es que está conformado éste conjunto? Iniciemos desde su origen.

El origen de los números números

Desde el inicio de la humanidad, los seres humanos hemos tenido la necesidad de contar. Al principio de usaban los dedos, se hacían nudos en cuerdas, incluso de hacían montones de ramas para representar cantidades. A medida que las cantidades que se querían contar se fueron haciendo cada vez más grandes, tuvieron que desarrollarse símbolos o figuras que los representará de forma más práctica y sencilla. 

En diferentes partes del mundo y en distintas épocas de llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Éste procedimiento se vuelve a repetir hasta obtener sucesivas clases (unidades, decenas, centenas, etc.). 

El sistema de numeración que utilizamos actualmente es decimal, es decir, está basado en 10 dígitos. Algunas teorías dicen que la base más común fue 10 porque éste es el número de dedos en la mano. Sin embargo muchas civilizaciones utilizaron otras bases, como la maya, que uso como base 20 y 5, o la babilónica, 20 y 60. 

os números que cotidianamente utilizamos en la actualizad, pertenecen al Sistema Indo-Arábigo. Éste sistema de numeración posicional base 10, fue desarrollado en la India y fue difundido en Europa por los árabes.

 Los sacerdotes hindúes inventaron los números que usamos, llamados arábigos por ser los árabes quienes los divulgaron. Los contactos comerciales entre la India y el imperio construido por los árabes favorecieron que éstos últimos adoptaran tanto el sistema de numeración hindú como sus signos numerales, contribuyendo luego decisivamente a difundirlos en Occidente. 

La principal razón por la que fue ampliamente utilizado es que, a diferencia de otros sistemas con diferente base, los números indo-arábigos facilitan mucho la realización de todo tipo de operaciones matemáticas (suma, resta, multiplicación, división, etc.). 

 Otra de las ventajas de ése sistema es la existencia del cero (0), lo que permite que con sólo diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) puedan representarse cualquier cantidad por más grande que sea y convertir la numeración infinita, y facilitar al efectuar operaciones. 

Pero, realmente ¿en qué se basa el sistema posicional? Pues bien, se dice que el sistema numérico indo-arábigo es un sistema posicional base 10, esto quiere decir que dependiendo de la posición que tiene cada dígito o número: 0, 1, 2, 3, 4, 5. 6. 7, 8, 9, es el valor que le corresponde en unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc. 

Por ejemplo: 

Cantidad	Unidades de millar	Centenas	Decenas	Unidades
4089	4	0	8	9	Cuatro mil ochenta y nueve

Además de asignar valores, el sistema indo-arábigo se caracteriza por agrupar valores de diez en diez (base 10), en este sentido, 10 unidades forman una decena, 10 decenas formas una centena, 10 centenas formas una unidad de millar, y así sucesivamente.

En conclusión, el sistema de numeración posicional indo-arábigo, es el sistema más utilizado porque facilita mucho el poder realizar operaciones aritméticas, es posible representar cantidades muy grandes o muy pequeñas, además, el uso del número cero (0), fue de gran importancia y utilidad.

 

Otros sistemas de numeración no posicionales

Los sistemas de numeración no posicionales se basan en que el valor de los símbolos o figuras utilizadas para representar cantidades,  no dependen de la posición en la que se encuentren, si no que se representan por el símbolo en sí.

Entre los sistemas de numeración no posicional se encuentran el sistema egipcio, y el sistema romano.

Sistema de numeración romana

Se basaba en el valor absoluto y posición relativa de siete símbolos representados por letras del alfabeto, con los que se podía representar unas cantidades elevadas con un numero reducido de ellos. Estos símbolos eran: I, V, X, L, C, D y M, donde I representaba 1 unidad, V 5 unidades, X diez unidades, L 50 unidades, C 100 unidades, D 500 unidades y M 1000 unidades. Con estos símbolos se obtenía todos los demás números:

Reglas del sistema de numeración romano:

1. Los numerales (símbolos) se pueden repetir sólo hasta 3 veces, pero no todos, sólo el 1, el 10, el 100 y el 1000.

2. Se apega a cuatro principios:

•Principio aditivo: para encontrar el valor del número, se suman los valores de los símbolos que lo forman, sin importar su posición, excepto en los casos en que se aplica el principio sustractivo.

•Principio sustractivo: si uno de los símbolos I, X, C se encuentran a la izquierda de otro símbolo de mayor valor, se le resta a éste el valor correspondiente,

•Principio multiplicativo: si un símbolo tiene una testa (), entonces se multiplica por 1,000.

Ejemplos:  

 

•Principio de economía: es mejor usar menos símbolos para escribir un número

Sistema de numeración egipcia

El sistema de numeración egipcio era decimal y no posicional. Cada unidad se representaba con un trazo vertical; las decenas, con un arco, y las centenas, millares, decenas de millar, centenas de millar y millones, con un jeroglífico específico.

Desde el tercer milenio A.C. los egipcios usaron un sistema describir los números en base diez utilizando jeroglíficos para representar los distintos ordenes de unidades.

Se usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podían escribir indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo, cambiando la orientación de las figuras según el caso. 

Al ser indiferente el orden, se escribían a veces según criterios estéticos, y solían ir acompañados de los jeroglíficos correspondientes al tipo de objeto (animales, prisioneros, vasijas, etc.).

Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática y demótica, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas

 

 

Propiedades de los números naturales

Propiedades de los números naturales en las operaciones

Los números naturales son un conjuntos de números que pertenecen a N= { 1, 2, 3, 4, 5...}

Se caracterizan porque cumplen con ciertas características al utilizarse para realizar operaciones aritméticas. 

Cuando se realiza una operación de adición o suma o una multiplicación, el resultado obtenido es un número perteneciente al conjunto de los números naturales. Se dice entonces que para éstas operaciones excluyentes.

.

Caso contrario, esto no siempre ocurre cuando se realizan operaciones de resta o división. Entonces forman operaciones no excluyentes.

Para la suma, se cumplen ciertas propiedades:

- Conmutatividad: El orden de los sumandos no varía la suma.  

a + b = b + a, con a y b pertenecientes a números naturales.

- Asociatividad: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. 

(a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a números naturales.

Propiedades que se cumplen en la multiplicación de números naturales:

- Conmutatividad: a · b = b · a, con a y b pertenecientes a números naturales.

- Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c), con a, b y c pertenecientes a números naturales

- Elemento Neutro: a · 1 = a, con a perteneciente a números naturales. Todo elemento de números naturales, multiplicado por 1, resulta el mismo elemento.

- Distributividad: a · (b + c) = a · b + a · c, con a, b y c pertenecientes a número natural.

Propiedades de los números enteros

Diferencias en las propiedades entre los números enteros y naturales.

Se les denomina números enteros al conjunto de éstos que pertenecen a z= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}

A diferencia de los números naturales, éstos incluyen el valor de cero (0), y todos aquellos números contrarios a los naturales (números negativos), así como también los positivos.

Al igual que los números naturales, los enteros también cumplen ciertas propiedades al realizar operaciones:

Propiedades en la suma o adición:

1.  Se cumplen las mismas propiedades que con los números naturales.
2. Elemento neutro: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número. a + 0 = a
3. Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.  a + (-a) = 0

Propiedades en la resta:

1. Interna: La resta dos números enteros es otro número entero.
2. No es Conmutativa: a - b ≠ b – a

Propiedades de la multiplicación en números enteros:

1. Se cumplen con las mismas propiedades de los números naturales al multiplicar.

Propiedades de la división en números enteros:

1. Al contrario que en la división de números naturales, la división de dos números enteros, siempre dará por resultado otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

REGLA DE LOS SIGNOS

+ entre + = +

- entre + = -

+ entre - = -

- entre - = +

Propiedades de los números racionales

Diferencias en las propiedades entre los números enteros y racionales

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero.}
Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.

Propiedades de la suma y resta de números racionales:

1. Cumple con las mismas propiedades que los números enteros: interna, conmutativo, asociativa, elemento neutro y elemento opuesto. En el caso de la resta, no es conmutativa, es decir, el orden de los elementos afecta en la operación.

Propiedades en la multiplicación  de números racionales:

1. Se cumplen con las mismas propiedades que los números enteros.

Propiedades en la división  de números racionales:

Se define el cociente de r entre s distinto de 0, al producto . En otra notación, .

A las operaciones que todo par de racionales, divisor distinto de cero, le hace corresponder su cociente, se llama división, que no es una operación totalmente definida; pero se asume que es una operación inversa de la multiplicación que resuelve la ecuación. 

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división se llaman operaciones racionales.

Al realizar la operación de raíz cuadrada a un número racional, el resultado obtenido no pertenecerá a los números racionales

Propiedades de los números irracionales

Los números racionales son aquellos que poseen infinitas cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como fracciones. 

La representación gráfica de los números irracionales se la hace con las letras mayúsculas así: R - Q.

Existen algunos casos especiales de números irracionales famosos que tienen su propia notación y simbología.

Los números irracionales pertenecen al conjunto de los números reales, más no al de los racionales. 

Propiedades de los números irracionales en las operaciones.

1. Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
2. Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
3. Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1.
4. La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta.

Propiedades de los números reales

Diferencias en las propiedades entre los números reales y los racionales

Propiedades de la suma de números reales.

Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí.

La suma tiene las siguientes propiedades: Conmutatividad, asociatividad, elemento inverso, elemento neutro.

Propiedades de la resta de números reales

Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números.

1. Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.
2. Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.
3. Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.
4. Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.

En la multiplicación, los números reales y los racionales cumplen con las mismas propiedades.

Propiedades en la división:

Siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir, son la excepción de que el divisor no puede ser cero. Esto es, no se puede dividir entre cero.

Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación.

No es una operación conmutativa ni asociativa.

Propiedades de los números imaginarios

Los números imaginarios son un conjunto de números complejos que no pertenece a los números reales, y cuyo origen resulta de la raíz cuadrada de menos 1. Esto es debido a que no es posible realizar operaciones de raíces a números reales negativos.

 La necesidad de tener un número que al elevarlo al cuadrado de cómo resultado un número negativo, dio como resultado el numero i, y se define como la raíz cuadrada de menos uno.

Propiedades de la suma de números complejos

1. Los números complejos son conmutativos, asociativos, elementos neutros, y cumplen con los elementos simétricos.

Propiedades de la multiplicación de complejos

1. Conmutativa
2. Asociativa
3. Elemento neutro
4. Distributiva del producto con respecto a la suma
5. Elemento simétrico respecto del producto

• Dados tres números complejos a + b.i, c + d.i y e + f.i, se cumple:

(a + b.i).[(c + d.i) + (e + f.i)] = (a + b.i) (c + d.i) + (a + b.i).(e + f.i)

Ejemplo:

(1 - 2 i) [3 i + (2 - 7 i)] = (1 - 2 i) (2 - 4 i) = 2 - 4 i - 4 i + 8 i² = -6 - 8 i

(1 - 2 i) 3 i + (1 - 2 i) (2 - 7 i) = (3 i - 6 i²) + (2 - 7 i - 4 i + 14 i²) = (3 i + 6) + (-12 - 11 i) = - 6 - 8 i

• El conjunto de los números complejos, por contar con todas las propiedades anteriores para la suma y para el producto, se dice que es un anillo conmutativo.
• El conjunto de los números complejos se simboliza por C,o también (C, +, ·).
• Elemento simétrico respecto del producto. Dado un complejo cualquiera a + b.i, distinto de 0 + 0 i, existe otro complejo que, multiplicado por él, da el elemento neutro del producto, es decir, 1 + 0 i
  

División de números complejos


La división es la operación inversa de la multiplicación. Esto es, dividir un número complejo entre otro es el resultado de multiplicar el primero por el inverso del segundo.