domingo, 17 de enero de 2016
Razón de oro y serie de Fibonacci
Todas las antiguas civilizaciones
desarrollaron conceptos matemáticos, generalmente relacionados con necesidades
prácticas.
Sin embargo, el pueblo griego, desarrolló una forma de hacer matemáticas que era diferente a todos los demás; se basó en el razonamiento lógico y transformó radicalmente y para siempre el significado de esta ciencia.
La referencia más confiable que tenemos de la matemática griega es el libro: “Los Elementos” escrito por Euclides alrededor de 300 a. C.
Este libro desarrolla los conceptos geométricos mediante el método axiomático deductivo. Es el libro científico más editado de todos los tiempos.
Sin embargo, el pueblo griego, desarrolló una forma de hacer matemáticas que era diferente a todos los demás; se basó en el razonamiento lógico y transformó radicalmente y para siempre el significado de esta ciencia.
La referencia más confiable que tenemos de la matemática griega es el libro: “Los Elementos” escrito por Euclides alrededor de 300 a. C.
Este libro desarrolla los conceptos geométricos mediante el método axiomático deductivo. Es el libro científico más editado de todos los tiempos.
Número áureo (número de oro)
¿Qué es belleza? Según
algunos, es “aquello cuya contemplación produce placer, exaltación de los
sentidos”.
Todos estaremos de acuerdo en considerar como
bello aquello que nos produce un placer estético. Además, el platonismo nos
ensena la idea de bien/belleza, por eso a menudo se asocia el concepto de
belleza al de bondad, en contraposición al binomio fealdad-maldad.
Esta sensación
será más notoria si reconocemos el tema representado, si los colores resultan armónicos
y, sobre todo, si existe una relación equilibrada de las partes entre sí y con
respecto al todo.
Los números de Fibonacci y
la proporción áurea han sido motivo de todo tipo de especulaciones sobre su
supuesta presencia en distintas manifestaciones de la naturaleza y en otras
hechas por el hombre. Así se suele afirmar que se puede encontrar la proporción
dorada en lugares tales como el número de pétalos de las flores y en las hojas
de las plantas, en los caparazones de moluscos, en la forma de ciertas
galaxias, en obras de arte e inclusive en el tamaño de las tarjetas de crédito.
Veamos a continuación qué hay de cierto y qué hay de mentira en tales
afirmaciones.
Por algún motivo, las
figuras que están “proporcionadas” según el número áureo nos resultan más
agradables. A menudo se le atribuye un carácter estético especial a los objetos
que contienen este número, y es posible encontrar esta relación en diversas
obras de la arquitectura y las artes plásticas.
¿Pero qué es el número
áureo? El número Áureo, representado con la letra griega Fi, (Φ,φ), es un
numero irracional. Los que saben algebra ya lo conocen como decimal infinito no
periódico; para los que somos de letras, sabed que se trata de un número que
fue descubierto en la antigüedad y estudiado por Euclides hacia el siglo III a
NE y que hacía referencia a una relación armónica de proporción entre dos segmentos
de una recta.
También se conoce como numero dorado, proporción aurea o divina
proporción.
Curiosamente, esa proporción
también la encontraron en las formas naturales del entorno, como la relación
entre las nervaduras de las hojas de los árboles, el grosor de un tronco, la relación
entre la cantidad de abejas macho y abejas hembras que hay en una colmena, la disposición
de los pétalos de las flores, las espirales de la concha de un caracol, en las
sonatas de Mozart o en la Quinta sinfonía de Beethoven.
Aún más extraordinario es
encontrarlo en nosotros mismos. Te animo a hacer la comprobación, pues lo
encontramos en la relación de distancia entre el ombligo y la planta de los
pies de una persona, respecto a su altura total. Si divides estas dos cantidades,
obtendrás un número aproximado a 1,618034. Cuanto más se aproxime a este
resultado más armónicas resultaran tus proporciones. Pues bien, también lo encontraras en la relación
entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos;
o la relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
En las obras de la historia
del arte, la relación de phi con la estética, viene definida por el Rectángulo
Áureo, cuya altura y anchura remiten a phi
De nuevo, Euclides nos
presenta el cálculo: este se haría dividiendo el lado mayor entre el lado menor
y el resultado sería: 1,6180339887...
Esto es lo primero que te
sugerimos comprobar: que la mayoría de los rectángulos que nos encontramos en
nuestra vida cotidiana son áureos. Para ello mide tu D.N.I., un libro, el
carnet del instituto, la tarjeta de crédito o cualquier otro rectángulo que
lleves contigo y divide la medida más larga entre la más corta y comprueba si
da un número aproximado a fi. Además, a partir de un rectángulo áureo, se puede
obtener una sucesión infinita.
En el periodo renacentista existen
numerosos autores que retoman este canon. El monje Franciscano Luca Pacioli (1445-1514)
la denominaba "divina proporción" y escribe todo un tratado (De
Divina Proporcione), sobre sus propiedades y proporciones.
En el renacimiento, los
grandes maestros como Durero, Rafael, Miguel Ángel, Palladio o Leonardo da
Vinci, se interesaron por la proporción aurea y la incluyeron en sus obras,
buscando una belleza armónica con el cosmos. Todo ello, bajo el halo del
Humanismo, que permitía conciliar el saber antiguo con la fe católica. El
propio Leonardo, en su tratado de pintura reclama que la pintura sea
considerada una ciencia, y no es de estañar si tenemos en cuenta la formación
de estos genios en matemáticas, geometría, astronomía, anatomía, física, etc.
Leonardo es un gran apasionado de las matemáticas y como tal lo demuestra en
sus obras de arte. En el esquema se puede ver como el rostro de la Gioconda se
encuadra perfectamente en un rectángulo áureo.
Se puede apreciar que justo
la división del rectángulo áureo superior coincide con la raya de nacimiento
del pelo, pasa por la mitad de la nariz. Con sucesivas divisiones del rectángulo
áureo se aprecia como los ojos quedan perfectamente encuadrados. Además, las
medidas de este lienzo sobre tabla son 89x55 cm., curiosamente dos números de
la secuencia de Fibonacci que, al dividirlos, resultan phi.
Leonardo de Pisa
(1170-1250), más conocido como Fibonacci, nació en Pisa, Italia e hizo muchas
contribuciones a las matemáticas. Es conocido por el público en general por la secuencia de
números que lleva su nombre: {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,
144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...}.
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Leonardo de Pisa
(Fibonacci).
|
Esta secuencia se construye
mediante la elección de los dos primeros números (las "semillas" de
la secuencia) y el número siguiente se obtiene como la suma de los dos números
anteriores.
Esta simple regla genera una secuencia de números que tienen muchas
propiedades sorprendentes, de las cuales citaremos algunas:
-Tome tres números adyacentes
de la secuencia. Eleve al cuadrado el número del medio. Multiplique los otros
entre sí. La diferencia entre estos dos resultados es siempre 1. Por ejemplo,
si tomamos {3, 5, 8} vemos que 5²=25 y que 3·8=24. La diferencia
resulta ser 1.
- Tome cuatro números
adyacentes de la secuencia. Multiplique los dos de los extremos. Multiplique
los que hay dentro. El primer producto será una unidad mayor o una unidad menor
que el segundo. Por ejemplo, si tomamos{21, 34, 55, 89} vemos que
21·89=1869, mientras que 34·55=1870.
La suma de los diez números
adyacentes es igual a 11 veces el séptimo de los diez. Por ejemplo, si
tomamos {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89} vemos que la suma resulta
231 que es 11 el séptimo número de nuestra sucesión (el número 21).
Esto es sólo un ejemplo de
muchas secuencias con las relaciones recursivas simples. La secuencia Fibonacci
obedece a la relación recursiva P(n)=P(n-1)+P(n-2). En tal secuencia,
los primeros dos valores deben ser arbitrariamente elegidos. Se les llama las
"semillas" de la secuencia. Cuando se eligen al 0 y al 1 como
semillas, o 1 y 1, o 1 y 2, la secuencia se denomina la secuencia
Fibonacci. La secuencia formada a partir de la relación entre los números
adyacentes de la secuencia de Fibonacci converge a un valor constante de
1,6180339887..., llamado "phi", cuyo símbolo es Φ.
Una característica notable
de esta secuencia es que la inversa de Φ es 0,6180339887... que es igual
a Φ-1. Dicho de otra manera, Φ = 1 + 1/Φ. Esto es cierto, sean cuales sean
los dos números enteros que se usen como semillas para inicializar la
secuencia, es decir, este resultado sólo depende de la relación recursiva que
utiliza y no de la elección de las semillas. Por lo tanto hay muchas secuencias
diferentes que convergen a Φ . Se les llama "secuencias generalizadas de
Fibonacci".
A la relación
Φ=1,6180339887... se llama "proporción áurea". Los rectángulos cuyos
lados guardan esta relación se denominan "rectángulos de oro", y ya
eran conocidos por los antiguos griegos. Estos rectángulos son la base para
generar una curva conocida como la "espiral dorada", una espiral
logarítmica que se ajusta bastante bien a otras espirales que se encuentran en
la naturaleza. Este hecho es la fuente de gran parte del interés popular y
mística en este asunto matemático.
Es fácil inventar otras
relaciones de recursividad interesantes. Algunas han sido lo suficientemente
interesantes como para que lleven el nombre de sus autores. La sucesión de
Lucas es bien conocida: {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, ...}. Tiene
por semillas a 1 y 3, y la misma relación de recursión de la serie de Fibonacci
(algunos libros inician esta serie con las semillas 2 y 1, y el resto de la
serie sigue de la misma manera). La relación entre números adyacentes de la
sucesión resulta ser Φ para grandes valores.
¿Y qué hay de una relación
recursiva diferente? Por ejemplo: P(n)=P(n-2)+P(n-3). Con las tres
semillas 0, 1, 1 se obtiene la sucesión {0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9...}. Las
semillas, junto con la relación de recursión, definen unívocamente a la
secuencia. La relación entre dos términos sucesivos P(n+1)/P(n) converge
a 1,3247295... Cuyo recíproco es 0,7545776665... (Tenga en cuenta que su
recíproco no es una unidad menor que él mismo, al contrario de lo que podría
haber esperado).
Por lo general, para todas
estas sucesiones, los primeros valores de las relaciones entre dos números
sucesivos no parecen tener un patrón consistente, pero para números grandes
convergen a valores que son casi constantes, y después de n=30, la proporción
alcanza un valor estable con alrededor de 10 decimales.
Los sinsentidos sobre Fibonacci
Se puede encontrar con
afirmaciones fantásticas como estas:
Los "rectángulos de
oro" son los "más bello" rectángulos, y los utilizaron
deliberadamente los artistas en sus pinturas. (Se podría pensar que siempre
utilizaban marcos rectángulares áureos, pero no lo hacían).
Los modelos basados en los
números de Fibonacci, el número áureo y el rectángulo de oro son los más
agradables a la percepción humana.
Mozart
utilizó Φ en la composición de su música. (A él le gustaban los
juegos de números, pero no hay buena evidencia de que alguna vez utilizara
deliberadamente a Φ en una composición).
La secuencia de Fibonacci se
ve en la naturaleza, en la disposición de las hojas sobre el tallo de las
plantas, en el patrón de las semillas de girasol, en las espirales de los
caracoles, en el número de pétalos de las flores, en los períodos de los
planetas del sistema solar, e incluso en los ciclos del mercado de valores.
¡Tan omnipresente es la secuencia en la naturaleza (de acuerdo con esta gente)
que uno empieza a sospechar que la serie tiene la notable capacidad de
"ajustarse" a casi cualquier cosa!
Los procesos de la
naturaleza son "gobernados" por el número áureo. Inclusive, algunas
fuentes dicen que los procesos naturales se "explican" por esta
relación.
Por supuesto, gran parte de
esto es completamente absurdo. Las matemáticas no "explican" lo que
sea en la naturaleza, sino que usa modelos matemáticos muy potentes
para describir los patrones y las leyes de la naturaleza. Creo que es seguro
decir que la secuencia de Fibonacci, la proporción dorada, y el rectángulo de
oro, jamás han conducido de manera directa al descubrimiento de una ley
fundamental de la naturaleza. Cuando vemos un patrón numérico o geométrico
ordenado en la naturaleza, nos damos cuenta que hay que cavar más profundo para
encontrar la razón subyacente de por qué estos patrones emergen.
La publicidad de la espiral
de oro
La "espiral de
oro" es una curva fascinante. Pero es sólo un miembro más de una familia
más grande decurvas espirales, conocidas colectivamente comoespirales
logarítmicas, y todavía hay muchas otras espirales que se encuentran en la
naturaleza, como laespiral de Arquímedes.
No es difícil encontrar que
una de estas curvas se ajusta a un patrón particular en la naturaleza, incluso
si ese patrón está sólo en el ojo del espectador. Sin embargo, el pequeño y
sucio secreto de todo esto es que cuando una forma parece encajar, rara vez ese
ajuste es exacto. Los ejemplos de la naturaleza que se encuentran en los libros
suelen tener variaciones considerables del "ideal áureo". A veces,
las curvas que dicen coincidir con la espiral dorada, se ajustan mejor, en
realidad, por alguna otra espiral. El hecho de que una curva "encaja"
con datos físicos no da ninguna pista acerca de los procesos físicos
subyacentes que producen dichas curvas en la naturaleza. Tenemos que indagar
más para encontrar esos procesos.
Obsesiones doradas
Ombligos. Hemos leído que se
puede revelar Φ midiendo la altura de una persona y la altura desde el suelo
hasta su ombligo. La relación de la altura al ombligo y la altura total se
supone que es Φ. La implicación es que éste es un indicador del atractivo de
las proporciones corporales. ¿Alguien ha revisado a las personas reales? En mi
interés por la ciencia he comprobado esta afirmación en una amplia muestra de
las modelos más populares en trajes de baño. Esto debería verificar la
afirmación de que los cuerpos considerados como "hermosos" deben
tener las características ideales de forma, incluida la altura de ombligo ideal
(es un trabajo duro, pero alguien tenía que hacerlo). Los resultados arrojaron
un promedio de 0,58±0,01 con una variación bastante pequeña. Esto en cuanto a
este mito.
No es muy difícil encontrar
ejemplos para casi cualquier patrón o relación matemática que se desee. Por
eso, algunas personas cometen el error de suponer que esto revela un principio
místico que rige la naturaleza. Esto se ve reforzado al hacer caso omiso
de los casos de igual importancia que no se ajustan al patrón. Si el ajuste no
es muy bueno, se aproximan o manipulan las cifras. Si algunas cosas siguen sin
poder adaptarse, simplemente ponen la excusa que son "casos especiales"
domingo, 10 de enero de 2016
Geometría con AUTOCAD
En el estudio de las figuras geométricas, un cálculo importante es el del área. Para calcular el área de un triángulo se utiliza la conocida fórmula de: A = b x h / 2
Pero ésta fórmula se aplica directamente a triángulos rectángulo (tiene un ángulo de 90°). Entonces ¿qué pasa cuando tenemos un triángulo isósceles, escalenos o equiláteros?
Cuando ésto ocurre, debe obtenerse la altura de dicha figura por otros métodos algebraicos o aritméticos trazando la figura con geometría. Pero muchas veces ésta no es del todo precisa. Existen errores en la medición, o el trazado.
Una herramienta muy útil para resolver éste tipo de problemas es AUTOCAD.
Utilizando AUTOCAD me fue posible dibujar con gran exactitud las líneas, y tal como si se utilizara un compás y una escuadra, los lados del triángulo y además, obtener por medio de una acotación la altura exacta de la figura.
A continuación dejo el link del archivo acad generado:
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